Giả thuyết Poincaré từng làm nhiều bộ óc toán học thế giới của thế kỉ 20 phải phát sốt và biết bao chứng minh sai (cũng như những "chứng minh" không được chú ý đến) đã từng được đưa ra. Viện Toán học Clay (Hoa Kỳ) đành xếp nó vào một trong 7 bài toán khó của thiên niên kỷ chưa giải được để thách đố thế kỉ 21 với giải thưởng lớn tới một triệu USD.

Rất may là không lâu sau đó, vào cuối năm 2002, nhà toán học Nga kỳ dị nhưng xuất sắc Grigori Perelman tại Viện toán học Steklov (thành phố St. Petersburg) đã công bố trên Internet hai bản nghiên cứu dài khoảng 61 trang viết tay. Perelman dường như đã chứng minh được định lý, nhưng ông chưa đưa ra một công trình đầy đủ trên các tạp chí khoa học. Nhiều nhóm chuyên gia hàng đầu đã bắt tay vào kiểm tra công trình rất phức tạp của Perelman. Trong một thời gian dài không ai dám đứng ra đoan chắc rằng công trình này là đúng, tuy rằng không có lỗi nghiêm trọng nào được phát hiện. Đến hè năm nay 2006 thì ba nhóm độc lập với nhau đã công bố kết quả công việc kiểm tra công phu của mình và sự đồng thuận đã được hình thành trong các chuyên gia là Perelman đã chứng minh Giả thuyết Poincaré, chấm dứt sự tồn tại của nó sau gần 1 thế kỷ. Còn việc Perelman chứng minh được toàn bộ Giả thuyết Hình học hóa hay chưa thì có lẽ còn chờ thêm thời gian.

Dòng Ricci và phẫu thuật hình học

Năm 1982, Hamilton đưa ra một chương trình để chứng minh giả thuyết Poincaré.[2] Ý tưởng của Hamilton là đặt một metric Riemann lên đa tạp ba chiều đóng đơn liên, sau đó tìm cách cải thiện metric này; ví dụ như nếu metric được cải thiện đến mức nó có độ cong dương hằng thì, theo các kết quả cổ điển trong hình học Riemann, đa tạp ba chiều phải là một hình cầu. Hamilton sử dụng phương trình dòng Ricci để cải thiện metric:

∂ t g i j = − 2 R i j {\displaystyle \partial _{t}g_{ij}=-2R_{ij}}

trong đó g là metric và R là độ cong Ricci, và ta hi vọng rằng khi t tăng, đa tạp cùng với metric của nó sẽ trở nên dễ hiểu hơn.

Trong một số trường hợp, Hamilton chỉ ra rằng phương pháp này đủ hiệu quả, chẳng hạn như nếu đa tạp Riemann có độ cong Ricci dương mọi nơi. Tuy nhiên, với một metric Riemann bất kỳ, dòng Ricci tạo ra các kỳ dị phức tạp hơn.

Một thành tựu lớn của Perelman là chỉ ra rằng, trong một số trường hợp, các kỳ dị này sẽ trông giống như hình cầu hoặc hình trụ bị co lại. Với một mô tả định lượng của hiện tượng này, Perelman cắt đa tạp quanh các kỳ dị, chia đa tạp thành nhiều mảnh, và tiếp tục dòng Ricci trên mỗi mảnh nhỏ. Quá trình này được gọi là dòng Ricci với phẫu thuật.[3]